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John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd Ed., Springer, 2013

 

数学有三大分支：分析、代数、几何。我以往的研究工作中分析和代数工具用得比较多，几何用得很少，主要是 Euclid 几何 (有限维的 R^n 和无穷维的 Hilbert 空间)。最近想学学 Riemann 几何 (不然看不懂相对论啊)，找了一堆书一看才发现要先学微分流形，于是泡图书馆、泡论坛，最后确定了囧 Lee 的这本书，豆瓣给了 9.7 的高分。

 

这本书的最大优点是写得非常详细，内容也很全面，微分流形的知识点基本都覆盖了。虽然书厚了一点 (700页)，但是阅读非常流畅，只要具备微积分和线性代数的基础都可以看懂 (如果学过泛函分析就更好了)。另外需要一点拓扑和微分方程的知识，附录中都给出了主要结果，并且有证明。

 

最后附一句陈省身的话：“将来的数学研究对象，必然是流形；传统的实数或复数空间只是局部的情况 (虽然在许多情况下，它会是最重要的情形)”。
 

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Jorge Nocedal and Stephen J. Wright, Numerical Optimization, 2nd Ed., Springer, 2006. 

 

数值优化的应用日益广泛，在通信和信号处理领域的重要性基本和微积分、线性代数、概率论等同。我完整读过 6 本优化方面的书，印象最深刻的有两本：Numerical Optimization (NO) 和 Convex Optimization (CO), Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe 著。

 

本书的最大特点之一是对算法实现描写非常细致，有很多非常好的建议，对喜欢自己写代码的读作 (我属于这个集合) 大有帮助。另一个特点是对各种算法背后的基本原理阐述非常清楚，研读过程流畅顺利。

 

如果想对优化方法有一个比较全面的了解 (包括建模和算法)，最好结合 NO 和 CO 一起读。CO 的重点在模型建立，内容丰富，例子全面，习题也是宝藏。NO 的重点在算法实现，一定要写代码，否则就成了无源之水、无本之木。把 NO 里的算法都读懂了，看优化方面的论文会更加得心应手。
 

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Amos Lapidoth, A Foundation in Digital Communication, 2nd Ed., Cambridge University Press, 2017. 

 

这本书用严格、精确的数学语言对数字通信系统的基本原理和其中的信号处理问题进行了细致阐述。全书的符号选择、结论描述、习题设计和参考文献都展现出作者严谨的治学态度和深厚的学术功底。Lapidoth 教授在 MIT (北美最好的理工大学) 工作过，现在在 ETHZ (北欧最好的理工大学) 工作。作为理工科的学生，难道不为之所动吗？

 

这本书从信号处理的观点看待数字通信，既可以当作数字通信的教材，也可以当作信号处理的教材，特别是随机信号部分，讲得非常好。不仅分析了非平稳信号的功率谱密度，而且讨论了可测随机过程的概念，这些内容非常重要，但是在绝大部分随机信号分析 (处理) 的书中都找不到。例如一般的宽平稳随机过程通过一个线性时不变系统，输出不一定是随机过程 (想想为什么)。

 

阅读本书需要具备微积分、线性代数、概率论和信号与系统的基础，如果了解一点 (Lebesgue) 测度与积分，效果更好。
 

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Lloyd N. Trefethen and Davad Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

 

数值线性代数 (矩阵计算) 主要研究如何在计算机上快速、稳定地实现线性代数中涉及的主要算法，例如解方程组、求最小二乘，算特征值等，这正是“数值”二字的由来。和普通的线性代数相比，数值线性代数的研究内容更加综合、研究方法更加富有技巧性，当然也更加靠近实际应用，正如作者在前言里所讲：
 
We hope the reader will come to share our view that if any other mathematical topic is as fundamental to the mathematical sciences as calculus and differential equations, it is numerical linear algebra. 
 
这本书的最大优点是真正意义上做到了深入浅出！数值方法的书大部分是比较枯燥的，看过 Golub (SVD 算法发明人，大牛中的大牛) Matrix Computations 的读者应该有所体会。然而这本书一点也不枯燥，不仅把数值线性代数的主要算法讲得清晰明了，而且包含很多富有启发性的内容，从读书的过程中你能体会到作者的思考方式和风趣幽默。
 
对于从事信号处理算法研究的人员，数值线性代数是必备技能。能否设计出高效的算法，能否写出稳定的代码，都取决于数值线性代数的基础是否牢固。
 
最后多说几句现在的科技书籍，纯属妄加评判、如有得罪，还请多多谅解。很多书在前言中声称“本书讲法深入浅出，bla bla bla"，大部分都是胡说八道！从字面上看，深入浅出应该包含两层含义：不仅要深入、而且要浅出。深入就是要把知识讲出深度，浅出就是要把抽象晦涩的知识讲得简单明了。要做到深入，首先自己得有本事，如果胸无点墨你怎么深入？浅出比深入更难，不仅要求自己懂，而且还要让读者懂，特别是要让基础比较薄弱的读者懂。做到深入是牛人，做到浅出那就是大师。现在科技非常发达，写书出书也很容易，随便到图书馆转转，说的好听点叫琳琅满目，说的难听点就是滥竽充数。真正做到深入的书籍最多十中有一，真正做到深入浅出的书籍最多三十有一。

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Gerald B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 1999

 

这本书主要讲测度、积分及其应用。本书的最大特点是精炼、抽象，风格和 Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 有些类似。之所以说是特点而不是优点，是因为很多人 (特别是非数学专业的) 不喜欢抽象。记得杨振宁曾经说过：“现今只有两类现代数学著作：一类是你看完第一页就不想看下去了，另一类是你看完第一句话就不想看下去了”。还好，这本书属于第一类，毕竟作者偶尔还会做一点说明。

 

看懂这本书要有很好的数学分析基础 (比如前面提到的 Rudin 的 PMA)，最好还要知道一点时变函数的内容 (比如 Lebesgue 测度和 Lebesgue 积分)。因为这本书直接从抽象测度和积分开始讲，而不是像很多书先讲 Lebesgue 积分理论，然后过渡到一般的抽象积分。

 

对于从事信号处理的人来说，7,8,9 章一定要看。了解一下什么是严格的 Fourier 变换、什么是广义函数 (比如 \delta 函数)，以及 Kolmogorov 是如何把概率论从赌徒的游戏变成严格的数学理论。顺便多说一句，本科的“信号与系统”从物理直观上对 Fourier 变换作了很好的介绍，但是从数学严谨性看，连皮毛都算不上 (你没看错，连皮毛都算不上)。试想这样几个问题：(1) 作为一种从函数空间到函数空间的映射法则，Fourer 变换的定义域和值域是什么？(2) 微分运算显然是线性时不变系统，它的脉冲响应是什么？(3) 改变函数在有限点的值 (可以是无穷大) 不该不其积分，如果把 \delta 函数在 t=0 的值改成 0，那么它在实数轴上的积分应该是 0，怎么会是 1 呢？