什么是扭结？数值上如何实现扭结的碰撞？

• 扭结是一些标量场模型的孤立波解，它的能量集中在空间的一个小区域内。按照可积性，可分为两类

1. 可积扭结模型，如sine-Gordon模型。存在解析的正反扭结解和多扭结解，这些解可以用逆散射变换等方法导出。正、反扭结碰撞后相互穿过，互不影响。
2. 不可积扭结，如phi^4模型。存在解析的正、反扭结解，但目前还没有找到解析的多扭结解，因此只能用数值方法模拟正反扭结的碰撞。正、反扭结碰撞后的结果依赖于初始速度（详情见下文）。

    数值研究一个标量场模型的扭结碰撞主要有如下三步：

1. 找到该模型的稳定的静态扭结解
2. 从静态解出发，通过洛伦兹变换得到匀速运动的正、反扭结解
3. 将正、反扭结解的线性叠加作为方程的初始条件，采用周期性边界条件后对方程进行数值求解

正则标量场不可积扭结碰撞有什么结果？

正则标量场是指拉格朗日量能写成L=X-V这种形式的标量场。这里X和V分别是标量场的动能项和势能项。phi^4模型中，正、反扭结碰撞的结果可以归纳如下：

1. 存在临界速度vc~0.259（1978年发现）

2. 当初速度v0>vc时，正、反扭结碰撞一次后分开，同时伴随辐射的产生。这种现象称为非弹性散射。

3. 当v0<vc时，扭结碰撞后一般会形成束缚态（1975年首次发现，这也是第一个用数值方法研究phi^4扭结碰撞的工作），即振荡子bion。bion将在x=0处振荡很多次。

4. 当v0<vc，且v0处于某些小区间内，扭结碰撞两次后能逃逸而不会形成束缚态，这种速度区间称为二次反弹窗口（two bounce windows，后面简写为2BW，最早发现于1980年）。从下图可见，2BW有很多个，且越接近临界速度，2BW的宽度也越窄。2BW的形成机制是1983年提出的CSW机制。

5. 在每一个2BW的左右两边都存在三次反弹窗口（1991年发现），即扭结碰撞三次后分开的现象。3BW的宽度比2BW小很多。

6. 在每一个n次反弹窗口的边界附近存在(n+1)次反弹窗口，这些反弹窗口构成一个分形图形（1991年发现）。

为什么扭结的碰撞值得继续研究？

继续研究扭结碰撞的原因有以下几点：

理由一： 我们对反弹窗口的形成机制理解还不够！

CSW机制（Physica D: 9 (1983) 1）：phi4扭结的线性扰动谱中除了存在平移模式（即零模）外，还存在一个内禀的振荡模式。如果扭结碰撞时平移模式和振荡模式发生了共振能量交换，就会形成反弹窗口。然而，最近发现了一些例外：

1. phi^6扭结没有振荡模式，仍能形成反弹窗口。P. Dorey, K. Mersh, T. Romanczukiewicz, and Y. Shnir, Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 091602
2. 有的模型可能有多个振荡模式却没有反弹窗口。F. C. Simas, A. R. Gomes, K. Z. Nobrega, and J. C. R. E.  Oliveira, JHEP 09 (2016) 104
3. 没有振荡模式但含有准正规模式，也可能产生反弹窗口现象。P. Dorey and T. Romanczukiewicz, Phys. Lett. B 779 (2018) 117

因此研究不同模型的扭结碰撞可以帮助我们更好地理解反弹窗口的形成机制和背后的物理过程。

理由二：研究其他模型的扭结碰撞可能会发现新现象！

1. 有双振荡子末态
2. 临界速度随参数变化

理由三：大量的非正则扭结有待进一步研究！

非正则标量场是对拉格朗日量不能写成L=X-V这种形式的所有标量场模型的统称。

近年来随着宇宙学，弦论和有效场论的发展，人们开始关注大量的非正则标量场模型。研究这些模型中的扭结解以及解的性质是一个重要的课题。关于标量场扭结碰撞的情况可看下图，目前几乎没有关于非正则标量场模型中扭结碰撞的相关研究。原因可能有两点：

1. 非正则标量场模型的静态解不好找到，线性扰动谱的分析就更难了。
2. 非正则标量场的运动方程含有很多微分耦合项，用传统的有限差分方法很难求解。

理由四：扭结及其碰撞在宇宙学中有很多应用

• 膜世界模型: 我们的世界是五维时空中的一个畴壁（扭结的高维推广）.

V.A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov, PLB 125 (1983) 136
Y. Z., Y.-X. Liu, Z.-H. Zhao, Non-perturbative procedure for stable K-brane, PRD 89 (2014) 104034.
Y. Z., Y.-X. Liu, Linearization of thick K-branes, PRD 88 (2013) 024017.

• 循环宇宙模型: 膜的碰撞可以产生大爆炸.

J. Khoury, B.A. Ovrut, P.J. Steinhardt, N. Turok, PRD 64 (2001) 123522, hep-th/0103239;
J. Khoury, B.A. Ovrut, N. Seiberg, P.J. Steinhardt, N. Turok, PRD 65 (2002) 086007, hep-th/0108187;

• 畴壁碰撞与膜宇宙的再加热  hep-th/0406235
• 扭结碰撞与费米子的产生

G. Gibbons, K. Maeda, Y. Takamizu, PLB 647 (2007) 1

我关于非正则标量场的前期工作

1. Yuan Zhong, Rong-Zhen Guo, Chun-E Fu, Yu-Xiao Liu，Kinks in higher derivative scalar field theory, PLB 782 (2018) 346&ndash;352, arXiv:1804.02611.

2. Yuan Zhong, Chun-E Fu, Yu-Xiao Liu, Cosmological twinlike models with multi scalar fields, arXiv:1604.06857, Sci. China Phys. Mech. Astron. (2018) 61: 90411

3. Yuan Zhong, Yu-Xiao Liu, Matching the linear spectra of twinlike defects, CQG 2015, 32, 165002.

4. Yuan Zhong, Yu-Xiao Liu, K-field kinks: stability, exact solutions and new features, JHEP 1410 (2014) 41, arXiv:1408.4511.

5. Yuan Zhong, Yu-Xiao Liu, Zhen-Hua Zhao, Non-perturbative procedure for stable K-brane, PRD 89 (2014) 104034.

6. Yuan Zhong, Yu-Xiao Liu, Linearization of thick K-branes, PRD 88 (2013) 2, 024017.

• Books

1. Physics of Solitons, Dauxois and Peyrard, 2006, Cambridge University Press

2. Solitons and Instantons, R. Rajaraman, 1982, North-Holland, Amsterdam

3. Topological Solitons, Manton and Sutcliffe, 2004, Cambridge University Press

4. Classical Solutions In Quantum Field Theory Solitons And Instantons In High Energy Physics, Erick J. Weinberg, 2012, Cambridge University Press

5. Kinks And Domain Walls, Tanmay Vachaspati, 2006, Cambridge University Press